几何与代数 / 空间向量与立体几何 / 空间向量的应用
立体几何证明 25 分钟
用向量证明空间位置关系
把平行、垂直问题转化为方向向量与法向量的代数关系
空间位置关系可以通过方向向量、平面法向量的平行或数量积为零来证明；使用判定条件时还要核对直线是否在平面内等几何前提。
前置知识空间向量坐标运算、直线方向向量、平面法向量
相关知识空间角、点到平面的距离
学习目标
学完要达到什么程度
选取方向向量和法向量
能根据几何对象写出直线方向向量与平面法向量。
证明平行关系
能用向量共线或方向向量与法向量垂直来证明相应平行关系。
证明垂直关系
能用数量积为零证明线线、线面或面面垂直。
补齐几何判定前提
能在代数结论之外说明直线不在平面内、两平面有公共点等必要条件。
互动观察
动态理解
常用向量角色
u
v
nα
nβ
u=λv
u·v=0
u·nα=0
nα=λnβ
观察提示先确定“谁的方向向量、谁的法向量”，再选择平行或点积为零的条件。
核心公式
向量判定框架
线线平行u=λv（λ≠0）
两条直线方向向量共线时，直线平行或重合；结合题设排除重合。
只写向量共线，不说明几何对象可能不完整。线线垂直u·v=0
两条直线方向向量数量积为零可判定其方向垂直。
异面直线的垂直按方向夹角判断。线面平行u·n=0
直线方向向量垂直于平面法向量，且直线不在平面内时，可判线面平行。
若直线在平面内，也满足 u·n=0。面面关系nα∥nβ ⇒ α∥β或重合；nα·nβ=0 ⇒ α⊥β
用两个平面的法向量判断面面平行或垂直。
面面平行还要排除两平面重合。
理解与应用
学习策略
- 01
建立坐标系并写点坐标
优先利用垂直棱或规则几何体建立空间直角坐标系，减少计算。
- 02
求方向向量或法向量
线线关系求方向向量；涉及平面时通常先求法向量。
- 03
计算共线或数量积
平行看是否成比例，垂直看数量积是否为零。
- 04
回到几何语言补前提
明确写出排除重合、直线不在平面内等条件，再得出最终结论。
高频混淆
高频易错点
u·n=0 就直接写线面平行
这个条件也可能表示直线在平面内，必须结合题设或另证直线不在平面内。
把平面的任意向量当作法向量
法向量必须同时垂直于平面内两个不共线方向。
只写计算不写几何结论
向量等式是证明过程，最后必须翻译成相应的线线、线面或面面关系。
静态自测
自测例题
先独立作答，再展开解析
本题不提交、不计分，也不会自动修改学习状态。
直线 l 的方向向量 u=(1,1,0)，平面 α 的一个法向量 n=(1,-1,2)，且已知 l 不在 α 内。判断 l 与 α 的位置关系。
提示：先计算方向向量与法向量的数量积，再使用已给出的几何前提。
查看答案与解析
答案：u·n=1×1+1×(-1)+0×2=0，所以 l 的方向与 α 平行；又因 l 不在 α 内，故 l∥α。
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