概率与统计 / 计数原理 / 两个基本计数原理
计数模型基础 18 分钟
分步乘法计数原理
完成一件事必须依次完成若干步骤，总方法数按步相乘
若完成一件事需要依次完成 n 个步骤，第 i 步有 m_i 种不同方法，并且每种完整选择都由各步选择唯一确定，则完成这件事的方法数为 m₁m₂…mₙ。
前置知识分类加法计数原理、有序选择
相关知识排列、组合、古典概型
学习目标
学完要达到什么程度
识别“必须每步都完成”
能根据是否需要连续完成所有步骤，判断能否使用分步乘法计数原理。
设计合理步骤
能把完整方案拆成若干彼此衔接的步骤，并明确每步的方法数。
按步相乘
能写出 m₁m₂…mₙ 并计算总方法数。
检查不重不漏
能用“每个完整方案是否对应唯一的步骤选择序列”检查模型。
互动观察
动态理解
3件上衣 × 2条裤子
A1
A2
B1
B2
C1
C2
观察提示“步”不是题目分了几句话，而是完成最终目标必须连续做出的选择。
核心公式
乘法原理
两步情形N=m×n
第一步有 m 种方法，第二步对第一步的每种选择都有 n 种方法。
若第二步的方法数随第一步变化，不能直接用同一个 n。多步情形N=m₁m₂…mₙ
完整方案由每一步各选一种方法构成。
要保证所有步骤完成后恰好得到一个完整方案。
理解与应用
学习策略
- 01
明确“完成一件什么事”
先写出最终目标，避免只数到中间状态。
- 02
按时间或角色拆步骤
每个完整方案必须经历全部步骤，每步只记录当前选择。
- 03
逐步核对方法数是否稳定
确认每种前序选择下，下一步的方法数是否相同；若不同可画树状图或分情况。
- 04
用唯一对应验算
完整方案与步骤选择序列应一一对应，避免重复计数或遗漏。
高频混淆
高频易错点
把“分类”误当成“分步”
分类是任选一类即可完成；分步是每一步都完成后整件事才完成。
忽略后一步受前一步限制
若后一步可选数会变化，应先分类或逐支计算，不能机械相乘。
步骤划分不能唯一对应方案
若同一完整方案能由多组步骤选择产生，就会重复计数。
静态自测
自测例题
先独立作答，再展开解析
本题不提交、不计分，也不会自动修改学习状态。
从甲地到乙地有3条不同道路，从乙地到丙地有4条不同道路。要求必须经过乙地，从甲地到丙地共有多少种走法？
提示：完整走法必须先选“甲到乙”，再选“乙到丙”。
查看答案与解析
答案：3×4=12（种）。每条甲到乙的道路都可与4条乙到丙的道路组合，且每种完整走法对应唯一的一对道路。
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